2次曲面の計算式

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光学では球面が多く用いられます。

球面の形状は頂点を原点としたとき、中心からの距離\(r\)の形状の高さ\(h\)は以下の式で与えられます。

$$ h(r)=R-\sqrt{R^2-r^2} $$

または、

$$ h(r)=\cfrac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}} $$

\(R\)は曲率半径を表します。Rに対してrが十分に小さい場合は近似的に、以下の式が利用できます。

$$ h_0(r)\approx\cfrac{1}{2R}r^2 $$

2次の非球面の場合、以下の式となる。

$$ h_2(r)=\cfrac{r^2}{R+\sqrt{R^2-(1+b)r^2}} $$

bは非球面定数で、値によって以下の二次曲面になる。

\(b<-1\) 回転双曲面
\(b=-1\) 回転放物面
\(-1< b<0\) 回転楕円面(長球)
\(b=0\) 球面
\(b>0\) 回転楕円面(扁球)

長球は楕円の長軸を光軸として回転した面、扁球は短軸を回転した面である。

 

高次の非球面で偶数項のみを使用する場合は以下の式が用いられます。

$$ h_{even}(r)=\cfrac{r^2}{R+\sqrt{R^2-(1+b)r^2}} +\sum_{n=1}^{N}a_{2n}r^{2n}$$

 

奇数項まで使用する場合は以下の式が用いられます。

$$ h_{odd}(r)=\cfrac{r^2}{R+\sqrt{R^2-(1+b)r^2}} +\sum_{n=1}^{N}a_{n}r^{n}$$

2017/02/22 (水) - 10:16